Előzetes tudás Tanulási célok Narráció szövege Kapcsolódó fogalmak Ajánlott irodalom Ehhez a témakörhöz ismerned kell a háromszög, ezen belül a derékszögű háromszög tulajdonságait. Ebben a tanegységben megismered a Pitagorasz-tétel két megfogalmazását, a tétel megfordítását. Bemutatunk a tétel alkalmazásával megoldható feladatokat, amelyek ismeretében meg tudsz majd oldani hasonlókat. Püthagorasznak, az i. e. VI. században élt matematikusnak és filozófusnak tulajdonítanak egy ismert tételt. Pedig indiai, görög, kínai és babilóniai matematikusok már ismerték jóval Püthagorasz előtt, a kínaiak bizonyítást is adtak rá. A Pitagorasz-tétel az euklideszi geometria egyik fontos állítása. Így hangzik: Bármely derékszögű háromszög leghosszabb oldalának, azaz átfogójának a négyzete megegyezik a másik két oldal, vagyis a befogók négyzetösszegével. Sokan csak így ismerik: ${a^2} + {b^2} = {c^2}$ (a négyzet meg bé négyzet egyenlő cé négyzet), ahol a és b a befogók, c pedig az átfogó hossza. A Pitagorasz-tétel másik megfogalmazása a következő: Tetszőleges derékszögű háromszögben a befogók fölé írt négyzetek területeinek összege megegyezik az átfogó fölé írt négyzet területével.
Derékszögű háromszög köré írható kör - YouTube
±² Sziasztok! A feladat tulajdonképpen már meg van oldva, mégis szeretnék pár dolgot leírni. 1. ) Ha feladatban derékszögű háromszög szerepel, az esetek többségében - itt is - célszerű Thales kört is bevetni. 2. ) Hasznos lehet mértani középarányosok tételeit alkalmazni, miszerint: a. ) Az átfogóhoz tartozó magasság mértani középarányos az átfogó két szelete közt. A magasságpont két részre osztja a átfogót (c1 és c2) m² = c1*c2 b. ) A háromszög befogója mértani középarányos az átfogó és a befogónak az átfogóra eső vetülete közt. a²=c*c1 b²=c*c2 Egy kicsi átalakítás és keresztelés A háromszög baloldali csúcsa A, jobb oldalon a B, a derékszögnél a C. A magasság talppontja M, a kör középpntja O. Ha megrajzolod a Thales kört - a kör R = c/2 - akkor az OC = R, az MO szakasz = y Megoldás Adott: derékszögű háromszög, m és c = 2 *R! Keresett: a két befogó a és b? ****************************************************** A 2a. ) tétel alapján az AM szakasz = R -y (a rajzon x), a c - x = R + y, így m²=(R - y)*(R + y) = R² - y² (ez az OCM háromszögből is felírható, csak a tétel miatt írtam így) ebből y = sqrt(R² - m²) (sqrt a gyökjel helyett van) (Az utolsó előtti kérdezőnek: x = R - y = c/2 - y) A 2b. )
Ezt a tételt a magasság tétellel együtt szokás a derékszögű háromszögekre vonatkozó arányossági tételeknek is nevezni. Állítás: Derékszögű háromszögben a háromszög befogója mértani közepe az átfogónak és a befogónak az átfogóra eső merőleges vetületének. A mellékelt ábra betűzése szerint: : \( a=\sqrt{c·y} \) és \( b=\sqrt{c·x} \) Bizonyítás: Az AB átfogóhoz tartozó magasság az ABC háromszöget két derékszögű háromszögre, az ATC és a BTC háromszögekre bontja. Ezek háromszögek mindketten hasonlítanak az eredeti ABC háromszöghöz, mivel ezek is derékszögűek, és az egyik hegyes szögük közös. Az ATC háromszögben az α szög, míg a BTC háromszögben a ß szög közös. Emiatt persze a két kisebbik háromszög egymásra is hasonlít. Tehát: ABCΔ ~ ATCΔ~ BTCΔ. Az ABC háromszögben az " a " befogónak az átfogóra eső merőleges vetülete a BT szakasz ( y), míg a " b " befogónak az átfogóra eső merőleges vetülete az AT szakasz ( x). A bizonyítást most az " a " befogóra vezetjük le. Mivel az ABCΔ ~ BTCΔ, ezért a megfelelő oldalainak aránya egyenlő.